Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ([math]\displaystyle{ L^p(Q) }[/math]), имеющих обобщённые производные заданного порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] из [math]\displaystyle{ L^p(Q) }[/math].

При [math]\displaystyle{ 1 \leqslant p \leqslant \infty }[/math] пространства Соболева [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math] являются банаховыми пространствами, а при [math]\displaystyle{ p=2 }[/math] — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение [math]\displaystyle{ H^k(Q)=W^k_2(Q) }[/math].

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Определение

Для области [math]\displaystyle{ Q\subset R^n }[/math] норма в соболевском пространстве [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math] порядка [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] и суммируемых со степенью [math]\displaystyle{ 1 \leqslant p\lt \infty }[/math] вводится по следующей формуле:

[math]\displaystyle{ \|u\|_{W^k_p(Q)}=\left(\sum\limits_{|\alpha| \leqslant k}\int\limits_Q|D^\alpha u|^pdx\right)^{1/p}, }[/math]

а при [math]\displaystyle{ p=\infty }[/math] норма выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \|u\|_{W^k_\infty(Q)}=\sum\limits_{|\alpha| \leqslant k}\mathrm{ess } \sup|D^\alpha u|, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — это мультииндекс, а операция [math]\displaystyle{ D^\alpha }[/math] есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math] определяется как пополнение гладких функций в [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math]-норме.

Примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть [math]\displaystyle{ Q=\{x\in R^2:|x|\lt 1/2\} }[/math] — круг на плоскости. Функция [math]\displaystyle{ u(x)=\ln|\ln|x|| }[/math] принадлежит пространству [math]\displaystyle{ H^1(Q) }[/math], но имеет разрыв второго рода в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства [math]\displaystyle{ H^1(a,b) }[/math] являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства [math]\displaystyle{ H^1(a,b) }[/math] произведение этих функций также принадлежит [math]\displaystyle{ H^1(a,b) }[/math]. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Свойства

• Для любой области [math]\displaystyle{ Q'\subset Q }[/math] из [math]\displaystyle{ f\in W^k_p(Q) }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ f\in W^k_p(Q') }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ f\in W^k_p(Q) }[/math] и [math]\displaystyle{ a\in C^k(\overline Q) }[/math], то [math]\displaystyle{ af\in W^k_p(Q) }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ f\in W^k_p(Q) }[/math] финитная в [math]\displaystyle{ Q }[/math], то продолжение этой функции нулем принадлежит [math]\displaystyle{ W^k_p(Q') }[/math] для любой [math]\displaystyle{ Q\subset Q' }[/math].
• Пусть [math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math] есть гладкое и взаимно однозначное отображение области [math]\displaystyle{ Q }[/math] на область [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и [math]\displaystyle{ F\in W^k_p(\Omega) }[/math], тогда функция [math]\displaystyle{ f(x)=F(y(x)) }[/math] принадлежит пространству [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math].
• Пространства Соболева [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math] являются сепарабельными пространствами.
• Если граница области [math]\displaystyle{ Q }[/math] удовлетворяет условию Липшица, то множество [math]\displaystyle{ C^\infty(\overline Q) }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math].
• Пусть [math]\displaystyle{ u, v\in W^k_p(Q) }[/math], где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — ограниченная область в [math]\displaystyle{ R^n }[/math], звездная относительно некоторого шара. Если [math]\displaystyle{ kp\gt n }[/math], то их поточечное произведение [math]\displaystyle{ uv }[/math], определенное почти всюду в [math]\displaystyle{ Q }[/math], принадлежит пространству [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math], более того, существует положительная константа [math]\displaystyle{ C }[/math], зависящая только от [math]\displaystyle{ k,n,p }[/math] такая, что

[math]\displaystyle{ \|uv\|_{W^k_p} \leq C\|u\|_{W^k_p}\|v\|_{W^k_p} }[/math], иными словами, [math]\displaystyle{ W^{k,p}(Q) }[/math] является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой [math]\displaystyle{ \|u\|_{W^k_p(Q)^*}= C\|u\|_{W^k_p(Q)} }[/math].

• Пространства [math]\displaystyle{ W^k_p(Q) }[/math] при [math]\displaystyle{ 1\lt p\lt \infty }[/math] являются рефлексивными пространствами.
• Пространства [math]\displaystyle{ W^k_2(Q)=H^k(Q) }[/math] являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области [math]\displaystyle{ Q\subset R^n }[/math] удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если [math]\displaystyle{ k+n/p\lt s }[/math], то имеет место непрерывное вложение

[math]\displaystyle{ W^s_p(Q)\subset C^k(\overline Q) }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ k }[/math] предполагается целым и неотрицательным, а [math]\displaystyle{ s }[/math] может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова

Пусть область [math]\displaystyle{ Q }[/math] ограничена, [math]\displaystyle{ s_1\gt s_2 }[/math], [math]\displaystyle{ 1\lt p_1,p_2\lt \infty }[/math] и [math]\displaystyle{ n(1/p_1-1/p_2)\lt s_1-s_2 }[/math], тогда: вложение [math]\displaystyle{ W^{s_1}_{p_1}(Q)\subset W^{s_2}_{p_2} }[/math] вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

История

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева [math]\displaystyle{ H^1_0(Q) }[/math] — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Вариации и обобщения

Пространства Соболева [math]\displaystyle{ H^k_0(Q) }[/math]

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через [math]\displaystyle{ H^k_0(Q) }[/math] и вводятся как замыкания множества [math]\displaystyle{ C^\infty_0(Q) }[/math] по норме пространства [math]\displaystyle{ H^k(Q) }[/math], где [math]\displaystyle{ C^\infty_0(Q) }[/math] есть множество финитных в [math]\displaystyle{ Q }[/math] бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства [math]\displaystyle{ H^k_0(Q) }[/math] являются замкнутыми подпространствами в [math]\displaystyle{ H^k(Q) }[/math]. При наличии определенной гладкости границы области [math]\displaystyle{ Q }[/math] это пространство совпадает с множеством функций из [math]\displaystyle{ H^k(Q) }[/math], имеющих нулевой след на границе области [math]\displaystyle{ Q }[/math] и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до [math]\displaystyle{ k-1 }[/math]-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева [math]\displaystyle{ H^s(R^n) }[/math] можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции [math]\displaystyle{ f(x)\in L^2(R^n) }[/math] определено преобразование Фурье [math]\displaystyle{ \hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx }[/math], причем, [math]\displaystyle{ \hat{f}(\omega)\in L^2(R^n) }[/math]. Пространство Соболева [math]\displaystyle{ H^s(R^n) }[/math] определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ H^s(R^n)=\{f\in L^2(R^n):(1+|\omega|^2)^{s/2}\hat{f}(\omega)\in L^2(R^n)\} }[/math].

Пространства Соболева на торе

Пусть [math]\displaystyle{ T^n }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный тор. Пространство Соболева на торе [math]\displaystyle{ T^n }[/math], то есть [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

[math]\displaystyle{ H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum\limits_{m_1,\dots,m_n=-\infty}^\infty (1+m_1^{2k} + m_2^{2k} + \dots + m_n^{2k}) |f_{m_1m_2\dots m_n}|^2 \lt \infty\} }[/math].

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть [math]\displaystyle{ W^s_p }[/math] или [math]\displaystyle{ H^s }[/math].

В случае 0<s<1 пространство [math]\displaystyle{ W^s_p }[/math] состоит из функций [math]\displaystyle{ f\in L^p(Q) }[/math], [math]\displaystyle{ Q\subset R^n }[/math] таких, что

[math]\displaystyle{ \|f\|_{W^s_p}=\left(\|f\|^p_{L^p(Q)}+\int_Q\frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}dxdy\right)^{1/p}. }[/math]

Для нецелого s>1 положим [math]\displaystyle{ s=[s]+\sigma }[/math], где [math]\displaystyle{ [s] }[/math] — целая часть s. Тогда [math]\displaystyle{ W^s_p(Q) }[/math] состоит из элементов [math]\displaystyle{ W^{[s]}_p(Q) }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ D^\alpha f\in W^\sigma_p(Q) }[/math] для [math]\displaystyle{ |\alpha|=[s] }[/math] с нормой

[math]\displaystyle{ \|f\|_{W^s_p}=\left(\|f\|^p_{W^{[s]}_p(Q)}+\sum\limits_{|\alpha|=[s]}\|D^\alpha f\|^p_{W^\sigma_p(Q)}\right)^{1/p}. }[/math]

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство [math]\displaystyle{ H^{-k}(Q) }[/math] определяется по формуле:

[math]\displaystyle{ H^{-k}(Q)=\left(H^k_0(Q)\right)' }[/math]

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство [math]\displaystyle{ H^{-1}(-1,1) }[/math] содержит [math]\displaystyle{ \delta }[/math]-функцию Дирака.

Литература

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976